以书上的一道例题为例,说明知道随机变量的概率分布,怎么求随机变量函数的概率分布。
已知X是一个随机变量,X的概率密度为f(x) = 2x (0<=x<=1),U也是一个随机变量,U=3X-1,求U的概率密度

分析题目,我们知道如下信息:

  • X是随机变量
  • X的概率密度函数
  • U也是随机变量
  • U和X的关系

因为U和X之间的关系是线性的,因此,U和X在实数域上的概率分布是相同的,那么我们只需要求出X在实数域上的概率分布表达式,然后将X替换成U就可以了得到U的概率分布函数了

概率密度f(x)=2x,又因为概率分布函数在实数域上的积分为1,可以得到X的概率分布函数为x2

X=(U+1)/3

使用换元法,那么U的概率分布函数为u2+2u+1/9

同时,由于x的取值范围是0到1,u=3x-1,因此u的取值为-1到2

然后对u的概率分布函数求导,得到u的概率密度

f(u) = (2u+2)/9,-1<u<2

最后用导图总结一下:

最后更新: 2018年04月10日 21:33

原始链接: http://drac0nids.top/2018/04/10/求随机变量函数的概率分布/

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